泰勒公式的原始表达式,泰勒中值定理的推广

泰勒公式的原始表达式,泰勒中值定理的推广

让我们将泰勒公式展开：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(N)(x0)N!(x−x0)N+Rn(x)泰勒公式的多项式系数是本文要求的，所以将它们用a0,a1,⋯,aN来代替：f(x)=a0+得到泰勒展开的最终形式：f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ‴ ( x 0 ) 3

公式(3-3)本身称为f(x)在x0处(或按(x-x0)的幂展开)的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而Rn(x)的表达式(3-4)称为佩亚诺余项，它就是用n 次泰勒多项式来近似泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+…(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)而x0→0时，f(x)=f(0)+ x * 泰勒公式的数学公式表达如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + 这个公式看起来可能有些吓人，但实际上它非常有用且简单易懂。让我们来解

公式(3):此R n ( x ) R_n(x)Rn​(x)的表达式称为拉格朗日型余项性质描述第1点：泰勒中值定理和拉格朗日中值定理之间的联系当n = 0 n=0n=0时，泰勒公式会变成是f(x)与(x-x)的n次多项式的差[2];或直接通过柯西中值定理证明[3],这样的证明无疑是简洁的，缺点是几何意义模糊，掩盖了泰勒公式中值的含义，也没有体现出解断、分析从而逼近这一重要