伽马函数的高斯形式证明,伽马函数的一些特殊值

高斯数域证明 2023-10-13 19:51 223 墨鱼

高斯数域证明

伽马函数的高斯形式证明,伽马函数的一些特殊值

求高斯函数(f(x)=int_{-infty}^{+infty}frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}}dx)的矩母函数引理1:(int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{t^2}GAMMA函数的简单证明Γ函数(伽玛函数；gamma函数),是阶乘函数在实数与复数域上的扩展，是一个高等函数，无法用已知的指数、对数、三角函数的方法进行处理，要采用瑕积分的方式进行求解

≥△≤ 证明由ΓΓ 函数的Weierstrass 乘积公式Γ(s)=e−γss∞∏n=1(1+sn)−1es/n,(2)(2)Γ(s)=e−γss∏n=1∞(1+sn)−1es/n, 其中γγ 是Euler 常数. 将(2)(2)伽玛函数有不少等价的表示形式和神奇的结果。高斯给出的伽玛函数的形式是欧拉证明了如下一个漂亮的反射公式维尔斯特拉斯把高斯的伽玛函数形式做一下变换，就得

斯特林公式更精确地形式是：n!=2πn(ne)neθn12n ,其中θn∈(0,1) 我们知道将n! 延拓后得到伽马函数，那么伽马函数是否也有类似的斯特林公式呢？答案是肯定的(备注：后来，出于某种考量，人们把被积函数中的x^z改成x^(z-1),成为现在经典的伽马函数。文章这里写的是欧拉一开始的形式) 所以高斯也会尝试，用积分来定义这个他

伽马函数及其相关函数潘佳伟摘要伽玛函数不是初等函数，而是用积分形式定义的超越函数，伽玛函数也被称为阶乘函数。高等数学会告诉我们一个基本结论：伽玛函数证明：∫+∞−∞e−t22dt)2=∫+∞−∞∫+∞−∞e−x2+y22dxdy=∫2π0dθ∫+∞0e−r22rdr=2π∫+∞0e−r22rdr=2π(−e−r22|+∞0)=2π(∫−∞+∞e−t22dt)2=∫

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