秩为1的矩阵的特征多项式,秩1矩阵的性质

秩为1的矩阵的特征多项式,秩1矩阵的性质

秩为1的矩阵的特征值的公式Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β。1、设A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，则称m 是矩阵A的一个特征值。例如，在阶梯形矩阵秩为1的矩阵，1个非零特征值是矩阵的迹，即对角元元素之和，其它特征值均为0。对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-

求解矩阵的特征根也是特征多项式的一种应用，同时也是判断矩阵秩的关键。特征多项式的具体形式为：λE-A|=λ^n-(tr A)λ^(n-1)++(-1)^n|A|。亲亲您可以参考一对于n阶矩阵，如果rank(A)=1，那么Ax=0的线性无关的解有n-1个，说明零至少是n-1重特征值A的所有特征值的和是trace(A)，所以余下那个可能非零的特征值就是trace(A)

若阶矩阵的秩为1，则的特征值为当时，0为的重特征值；当时，0为的重特征值。这个结论可以⽤不同的⽅法证明（需要重点掌握）证：法1（⽅程组法）若,则一、A为3阶矩阵，r(A)=1 由题意知，A的特征值分别为αβT的迹(λ1=βTα)和0(λ2=λ3=0)。A的特征多项式方程分别为：(A-0E)x = 0 、A-βTαE)x = 0. (i)(A-βTαE)x = 0

∩＾∩ ⾸先我们明确，秩1矩阵形如以下形式：                   ⼀、基本性质1.2.    3.的秩，则存在常数，使得，此时是秩1矩阵4.，则存在，使得，则⼆、特提示：所有元素全为a的矩阵可以写成A=aee',其中e是所有分量都是1的n维列向量，A是秩不超过1的矩阵，特征值为n-1个0和na. 补充：“我想知道A=aee' 是怎么推出来的”这个已经显然

_{i} 是A 的全体特征值，而\alpha_{1} \ ,\alpha_{2} \,,\alpha_{n} 是标准正交的实n 维列向量组，且满足A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_{i} ,因此全部n 阶实对称\left( 半正证0是n-1重特征根：因为r(A)=1，A的行列式为0，又因为行列式等于特征值的乘积，所以0必为A特征值