二维拉普拉斯方程基本解,验证二维拉普拉斯方程的解

二维拉普拉斯方程基本解,验证二维拉普拉斯方程的解

在热传导和静电学中，经常要接触拉普拉斯方程的格林函数解法。对于三维的情况，比较容易由狄拉克函数与牛顿位势得到其基本解。在二维平面中，可以将三维的格林函数u=Re((x+iy)^n)(整式) u=ln(x^2+y^2)（对数）u=arctan(y/x)（反三角）u=Re(e^(x+iy))（指数，即三角）u=Re((1+z)/(1-z)),z=x

1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。3. 最大值原理：拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程(或任意线性微分方程),这两个函数之和(或任意形

上述结论似乎可以支撑以下方程为拉普拉斯方程的解：\begin{aligned} u(x) &=\int_{\mathbb{R}^{n}} \Phi(x-y) f(y) d y \\ &=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{2 \pi} \int_{\ma二维空间的拉普拉斯方程的基本解为u s ∗ ( r ) = − 1 2 π l n r u^*_s(r) = -\frac{1}{2\pi}lnrus∗​(r)=−2π1​lnr q s ∗ ( r ) = ∂ u s ∗ ∂ n ⃗ = − ( r

?＾? u=Re((x+iy)^n)(整式)u=ln(x^2+y^2)（对数）u=arctan(y/x)（反三角）u=Re(e^(x+iy))（指数，即三角）u=Re((1+z)/(1-z)),z=x+iy（分式）文章目录前言调和方程边界元方法的基本知识二维空间的拉普拉斯方程的基本解为三维空间的拉普拉斯方程的基本解为积分计算前言调和方程的基本解以及边界元方法中某积分的解析结果。