函数可积与有界的关系,可积和有界的含义

函数可积与有界的关系,可积和有界的含义

教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件：Th 9.2 , 在区间上有界. 二、充要条件：1.思路与方案：思路：鉴于积分和与分法和介点有1.有界函数一定可积这是最基本的关系。如果一个函数在某个区间上有界，那么它的积分也一定存在。这是因为有界函数可以用上下界来界定积分，从而保证积分的存在性。2.可积函数

强弱关系，从弱到强，依次为：有界《可积《连续《可导。即，在闭区间上，一个单元函数满足后者一定可以推出其也满足前面的系列性质。即，闭区间上，从后往可偏导并不能保证连续，需要偏导有界才能保证连续性。剩下的有界与可积是相互联系的，Riemann可积函数类的第一个性质就是有界，当然如果对广义积分来说有界就不是必要的了。而连续函

可积函数类有关定理和性质的证明定理6. $f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$可积定理7. $f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$可积定理8. $f(x)$在$[a,b]$上单调可积函数一定是有界的，可积是有界的充要条件，有界是可积的必要不充分条件。比如狄利克雷函数就是一个很典型的函数，它处处不连续，处处极限不存在，是一个处处不连续的可测函数。设f(

在数学中，有界函数不一定是可积的，而可积函数一定是有界的。这是因为可积函数的积分存在，它必须是有限的，而有限的积分限制了其取值范围，使其成为有界函数。因此，可积与有界的设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。可积函数是存在积分的函数。除非

申言之，可积一定有界，但有界不一定可积。可积函数一定有界，有界函数不一定可积(比如狄利克雷函数，全取有理数，全取无理数，趋于不同的值，1和0); 有界是可积的必要条件。2. 充分条件references一、可积