离散傅里叶变换公式推导,DFT计算公式推导

离散傅里叶变换公式推导,DFT计算公式推导

DFT的推导基于傅里叶变换公式(Fourier Transform),但需要引入离散时间信号的概念。假设有一个连续时间信号$S(t)$和一个离散时间信号$F(k)$,其中$t$是离散时间，k$是离散频率傅里叶变换的公式为：F(w) = ∫f(t) e^(-jwt)dt 其中，F(w)是频域信号，f(t)是时间域信号，w为角频率，j为虚数单位。离散傅里叶变换是傅里叶变换的离散形式。与傅里叶变换不同，

的傅里叶变换表示。采用与连续时间傅里叶变换完全并行的思路推理综合公式：分析公式：在推导这些公式的过程中，可以看出一个非周期序列是怎样被看成复指数信号的线性组合的。事实如何离散化呢？根据上面的公式推导，我们可以理解：假设有某个定义在(0,2π)的连续信号f(t),对其进行采样，采样点数为N,利用梯形求积公式便可得到离散傅里叶正变

在此基础上推导出的连续傅里叶级数就是连续傅里叶变换。既然T趋近于无穷大，那么其频谱图的横轴的间隔，即模拟频率f(f=1/T)会趋近于无穷小，那么原本离散的频谱图就会转变为连续的频上面公式中k为整数，而且由于的周期是，所以k只有0至(N-1)个值。这就是说只有N个不同的值，与都是以N个取样值为一周期的周期性函数。我们设k=r,其中r为任意整数，则得此即为离散

先抛变换公式：F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − 2 π i m n / N ↔ f n = 1 N ∑ m = 0 N − 1 F m e 2 π i m n / N F_m=\sum_{n=0}^{N-1}f_ne^{-2\pi imn/N}\leftright在此基础上推导出的连续傅里叶级数就是连续傅里叶变换。既然T趋近于无穷大，那么其频谱图的横轴的间隔，即模拟频率f(f=1/T)会趋近于无穷小，那么原本离散的频谱

1:傅里叶级数FS由三角函数推导得出，因此是针对周期函数来说的；相对应的离散域傅里叶级数是DFS。2:令FS中的周期无限大，得到傅里叶变换FT;离散域相对应的是DTFT(逆变换) (正变换) 总结：有限长序列可以看成周期序列的主值序列，因此有限长序列的傅里叶变换对如上式。6,离散傅里叶变换另一种推演从周期信号f(t)的傅里叶级