无限循环群的子群,无限群的生成元

无限循环群的子群,无限群的生成元

= 1即与互质10 有限循环群的生成元(续) 11 有限循环群的生成元(续) 12 循环群的子群 命题：设= 为循环群⑴ 的子群为循环群⑵若= ∞,则的子群除外皆为无限循环群设G =(a )为循环群，则1)若a 的周期无限，则G Z +(整数加群);2)若a 的周期为n ,则G Z n (整数模n 的剩余类加群).引理2　设G =(a )为无限循环群，则a l =a s Ζl =s.引理3　设

无限循环群的子群除{e}外均为无限群

1.4若S为有限集(无限集),称半群(S,*)为有限半群(无限半群) 1.5一般，对任意一个正整数n,必有一个恰好含有n个元素的半群(模n剩余类) 1.6单位元并不是半群的固有性质，没有单位元的半群是素数幂阶循环群1.4.7举一个无限群的例子，它的任意阶数不为1的子群都具有有限指数1.4.8设是一个素数，则对于复数的乘法作成群。试证的任意真子群都是有限

无限循环群的子群都是无限循环群

有限群的任意元素的阶都是存在的，且元素的阶必然整除群阶。证明内容循环群的子群必然还是循环群。证明设循环群G , 生成元为g,群阶∣ G ∣ = n |G|=n∣G循环群的子群为循环群。那么可以推出，整数加群{Z;+} ~\{ \mathbb Z ; + \}~ {Z;+} 的任何子群都形如mZ ~m\mathbb Z~ mZ ,其中m⩾0 ~m \geqslant 0~ m⩾0 .

无限循环群的子群仍是无限群

循环群：在群(G,·)中，若存在a∈G,使得G = {an| n∈G},则称(G,·)为循环群。Z,+)是一个无限阶循环群，生成元是1和-1 是m阶循环群，生成元是1 循环群的结假设循环群G由a生成，并且m是使am 包含于非平凡子群H的最小正整数。如果H中包含an ，并且n不是m的

无限循环群的子群必是无限循环群

循环群的子群求法定理11.20 (1) 设G=是循环群，则G的子群仍是循环群。2) 若G=是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群。3) 若G=是n阶循环群，则对n的定理3 3 (1) 循环群的子群是循环群，它或者仅由单位元构成，或者由子群中具有最小正指数的元素生成，即生成元为具有最小正指数的元素。2) 无限循环群的子群除{e}外都是无限循