chz展开成z的幂级数,幂级数展开技巧

chz展开成z的幂级数,幂级数展开技巧

例1:把函数chz展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径。解：∵chz=(ez+e-z)/2,而由(4)式ez=,|z|<+∞,再将(4)式两端的z换成-z得e-z=(-1)n,|z|<+∞,故chz=1+++…z|<+∞,收敛半径R=+∞+zn+…z|<1,(6),值得注意的是凡是把有理分式函数展开成幂级数都需要用(3)式，因为(3)式左边的和函数就是有理分式函数。例1:把函数chz展开成z的幂级数，并指出它的收敛半径。

其其最最前前面面n项项的的和和)()()()( 21 zfzfzfzs nn 称称为为级级数数的的部部分分和和. . 第二节幂级数如如果果对对于于D内内的的某某一一点点0 z, (2n)! n≥0 n≥0 注意到f1(z) 是首项为1 的幂级数，而f2(z) 是首项为1/z 的幂级数. 因此，形如cn(z − a)n, cn ∈ C, N ∈ Z, n≥−N 的幂级数也是很自然地出现. 再看一

ˇ△ˇ 10.幂级数和函数性质：若幂级数的和函数在收敛圆内解析，则在收敛圆内可逐次求导和逐次积分，即：11.泰勒级数：设函数在圆盘内解析，则在内的泰勒级数展式为：12.迈u2v2f(z)uivDf(zD内一定为常数。1)f(zD内解析，2)uD内为常数，3)f(z)在D内为常数，4)vu2(5)1证明：关键证明u,v的一阶偏导数皆为0!f(z)uiv,因其解析，故此由柯

z z z z e e e e shz chz ---+==; shz 奇函数，chz 是偶函数。shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==。四)解析函数的概念1.复变函数的导数1)点可导：)0f z '=所以定义主值为ln(|z|) + i argz chZ = (ez+ e-z) / 2 shZ = (ez- e-z) / 2 thZ = (ez- e-z) / (ez+ e-z) chZ' = shZ shZ' = chZ cos(Z) = (ezi+ e-zi) / 2

主值：ln ln arg z z i z =+。单值函数) Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z '=; 注：负复数也有对数存在。与实函数不同) 3)乘幂与把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径(1) (2) (3)cosz2 (4)shz; (5)chz (6)ez2sinz2; 把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径(1)(2)(3)cosz2(4)shz; (5)